sábado, 9 de octubre de 2010

Fracciones

Didactica, estrategias y uso de las fracciones.

En la matemática las fracciones o números racionales surgen como necesidad de ampliación del campo numérico de los números enteros.

El camino para el aprendizaje de las fracciones lo constituirán los problemas dados en los distintos contextos en que aparecen las fracciones: medida, reparto equitativo, trayectos, patrones, probabilidad, ganancias, recetas, áreas, etc. Serán las situaciones en contextos variados los que den oportunidad a los alumnos de reinventar estos números reconociendo su necesidad y significado.(Cualquier decimal o porcentaje, en tanto formas de escrituras de las fracciones, pueden ser interpretados también de cada una de estas maneras).

La fracción a partir de un todo
¿Qué parte es?

La fracción como reparto equitativo

Respondiendo a la pregunta ¿cuánto lecorresponde a cada uno? Por ejemplo, si tengo 9 panqueques para ser repartidos entre 7 invitados, cada invitado comerá 9/7 lo que equivale a 1 panqueque y 2/7. Análogamente,si he de repartir 3 barras de chocolate entre 4 niños cada uno recibirá 3/4 de barra. Estas situaciones se diferencian de las de partetodo en tanto intervienen unidades múltiples (panqueques- niños - manzanas -
comensales, etc.)
La fracción como razón

Sirve a la pregunta ¿en qué relación están? ya que pone de manifiesto la relación que mantienen un par de números que pueden provenir de comparar: - dos conjuntos distintos, por ejemplo, la razón o relación entre número de libros en la clase y número de alumnos. Así, 13 libros para 26 alumnos podrá expresarse como 13/26 leyéndose “13 a 26” ó lo que es lo mismo, “1 por cada 2”. - un conjunto y un subconjunto del mismo, por ejemplo, la relación entre los 21 alumnos en total y los alumnos varones (11) de una clase puede expresarse como 11/21 o “11 a 21”. Un caso especial lo constituye la probabilidad definida como el número de casos favorables sobre el número de casos posibles de un evento determinado. Por ejemplo, en la tirada de un dado la probabilidad o razón de probabilidad de que salga un 2 “es uno a 6” lo cual se indica como 1/6.

La fracción como división indicada

Para el caso en que la división sea inexacta, por ejemplo 3:7 no da un cociente entero
(0.428571…) luego puede ser conveniente dejar expresada esta división como 3/7, lo cual es un resultado exacto. Es en este contexto en que “tres séptimos” se lee “ 3 dividido 7”.

 La fracción como un punto de la recta numérica

Ubicadas en posiciones intermedias entre dos números enteros


Ejemplos de problemas que implican distintos significados de las fracciones

1) ¿A cuántos centímetros corresponden 3/5 de un metro? ¿Cuántos metros son 3/4 de un kilómetro? (Operador en medida)

2) Un fiambrero tiene una horma de queso cortada como muestra el dibujo. Perdió la cuchilla con la que cortaba el queso, pero dice que es capaz de venderle queso a un cliente siempre que pida: 1/2, ¼, 2/3, 3/4, 5/6, ó 11/12 partes de la horma.(Relación parte –todo)
Explicá cómo haría en cada caso.………………………

3) De una canasta de 36 plantines, 1/3 son prímulas y 1/4 son godesias y el resto son pensamientos. ¿Cuántas plantines de cada clase hay? (Parte-todo, operador)

4) Al fin del año escolar se compraron 7 turrones para repartir entre los 22 alumnos de la clase. ¿Cuánto comió cada uno? (Reparto equitativo)

5) En una proyección de cine a beneficio de una escuela se recaudaron $625 en entradas. La expectativa era recaudar $1000. ¿Qué porcentaje de lo esperado se recaudó? (Razón porcentual: relación recaudación/expectativa)

6) ¿Por qué número se ha de multiplicar a 3 para obtener 5? (Cociente indicado en una división inexacta)

7) De cada cinco encuestados uno prefiere leer antes que mirar TV. (Razón subconjuntoconjunto: 1 a 5)

8) Calculá la probabilidad de sacar 1, 3 ó 5 en la tirada de un dado. ¿Cómo resulta esta probabilidad con respecto a obtener números pares? (Razón de probabilidad, subconjuntoconjunto: 3 a 6 ó 1/2)

9) Me solicitó una reducción de escala 1 en 10. ¿Qué valor tomarán las longitudes de 50 cm, 13 cm y 62 cm que figuran en el original? (Razón entre medidas)

Los significados de las operaciones con fracciones

Si bien la formalización, es decir, el trabajo con las definiciones a nivel simbólico de las operaciones, no corresponde al segundo ciclo, sí corresponde comenzar a trabajar problemas (y no ejercicios aislados) en los que se vaya trabajando el sentido de las definiciones mismas.
A continuación presentamos algunos comentarios que pueden resultarnos de utilidad a los docentes para comprender los variados significados de las operaciones con números racionales y ayudarnos en la búsqueda de situaciones y problemas para dar a nuestros alumnos.

En la suma y la resta

Se han de buscar situaciones que tengan fracciones con igual y distinto denominador, y que combinen fracciones, números naturales y números mixtos.
Los significados de las fracciones pensadas como estados son idénticos a los de la suma y la resta con naturales (unir, separar, agregar, quitar, igualar).
Las fracciones pensadas como operadores implican la búsqueda de una cantidad intermedia (unidad o común denominador) al que se aplican. Por ej. 2/3 + 3/4 se puede pensar como 2/3 de una cantidad más 3/4 de la misma. Por ejemplo, sea la cantidad 12, con lo cual 2/3 de 12 es 8 y 3/4 de 12 es 9 y el resultado de sumarlas es 17/12.

Por ejemplo, el problema Ana se comió 2/4 de las galletitas y Nina 2/5 de las mismas
¿Qué parte de galletitas quedaron en el tarro? puede ser pensado como dos estados que se unen o bien como dos operadores que actúan sobre la cantidad de galletitas. En ambos casos se ha de buscar una unidad conveniente, por ejemplo 20 y el resultado será 18/20.

En la multiplicación

Se darán situaciones problemáticas de multiplicación de números naturales por fracciones y fracciones entre sí atendiendo a los distintos significados:
- n x a/b resulta identificable como “n veces a/b” Por ejemplo 5 x 3/4 = 5 veces 3/4
- a/b x n resulta identificable con la expresión “a/b de n” lo que implica dividir n por b y multiplicar el resultado por a ó viceversa. Por ejemplo: 3/5 x 10 será pensado como 3/5 de 10 lo que resulta igual a 6.
- a/b x c/d = se extiende el significado anterior “a/b de c/d”. En general el resultado es menor que los factores salvo que se trabaje con fracciones mayores que la unidad. Por ejemplo: 2/3 de 3/4 resultará 6/12.
Una ayuda importante para comprender el algoritmo de la multiplicación de fracciones lo constituye el modelo de área.
Por ejemplo: Sea 2/3 x 3/5. Esto puede pensarse como un rectángulo cuyas longitudes de lados coinciden con la de esas fracciones, luego podemos representar ambas de la siguiente manera obteniendo como área 6/15.

En la división

Se darán situaciones que atiendan a dividir fracciones por naturales, naturales por fracciones y fracciones entre sí

1) n : a/b posee el significado de partir (¿Cuántas veces cabe a/b en n?). Por ejemplo: 6 : 2/3 equivale a cuántas veces cabe 2/3 en 6, lo que da 9 veces.

2) a/b : n = puede pensarse como repartir una fracción en n partes. Por lo que 2/3 dividido 3 resulta 2/9.

3) a/b : c/d corresponde también a partir (¿Cuántas veces cabe c/d en a/b?) Por ejemplo: 3/4 : 1/4 equivale a cuántas veces cabe 1/4 en 3/4 lo que es igual a 3.










Fracciones

Si dividimos un objeto o unidad  en varias partes iguales, a cada  una de ellas, o a un grupo de  esas partes, se las denomina  fracción. Las fracciones están  formadas por dos números: el  numerador y el denominador.



Clasificación



Suma y resta de fracciones
Para sumar o restar fracciones, hay dos casos:
 Tienen el mismo denominador
Entonces se suman o se restan los numeradores y se deja el denominador común.
Ejemplo 1:


Es posible que el resultado se pueda simplificar.

Ejemplo 2


Tienen distinto denominador
Entonces, hay que amplificar las fracciones para que tengan el mismo denominador y luego sumar.
Formula típica para la suma:
Formula tipica para la resta:
Ejemplo:




Producto y cociente de fracciones
Para multiplicar dos fracciones, basta multiplicar los numeradores por una parte y los denominadores por otra:
Formula para el producto:

Ejemplo:


En el cociente de fracciones, el numerador de la fracción resultante es el producto del numerador de la fracción dividendo por el denominador de la fracción divisor, mientras que el denominador es igual al denominador de la fracción dividendo multiplicado por el numerador de la fracción divisor. Otra manera de imaginarlo es que dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por el inverso de ese número, por lo que el cociente entre dos fracciones es igual al producto de la primera fracción por el inverso de la segunda: